강의노트 변압기의 원리

원리

primary는 1차측으로 secondary는 2차측으로 표현한다.

$v_p (t) = v_1(t)$로 $v_s (t) = v_2(t)$로 표현 가능하다.

1차측에 교류전압을 인가한다.

철심에 자속이 흐르면 파라데이 유도법칙과 같이 전압이 유도된다.

$$e_1(t) = N_1 \dfrac{d\Phi(t)}{dt} \qquad ; \qquad e_2(t) = N_2 \dfrac{d\Phi(t)}{dt}$$

두 식을 나눠주면 식(1)을 얻는다.

$$\tag{1} \dfrac{e_1(t)}{e_2(t)} = \dfrac{v_{p}(t)}{v_{s}(t)}=\dfrac{v_{1}(t)}{v_{2}(t)}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}= a$$

페이저로 표현 :

$$\dfrac{V_{1}}{V_{2}}= a \quad ; \quad \dfrac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{1}{a}$$

권선비는 전압과 전류의 크기를 결정하지만 위상과는 상관없다.

여기서 $a > 1$이면 강압 변압기이고 $a<1$이면 승압변압기가 된다.

일차측에 전압이 인가되면 전류가 입력된다. 일차측에 전류가 입력되면 암페어주회법칙을 적용하면 식(2)를 얻는다.

$$\tag{2} N_1 i_1 = \oint H dl = H l_c = \dfrac{B }{\mu}l_c = \dfrac{\Phi \times l_c}{A\mu} = {\mathcal{R}}{\Phi}$$

2차측 입장에서는 식(3)과 같이 철심에 자속이 흐르는 에너지는 2차측에 전류를 발생시킨다.

$$\tag{3} N_2 i_2 = \oint H dl = H l_c = \dfrac{B }{\mu}l_c = {\Phi}{\dfrac{l_c}{A\mu}} = {\mathcal{R}}{\Phi}$$

식(2)와 (3)의 우변은 ${\Phi}{\mathcal{R}}$은 같으므로 식(4)를 얻는다.

$$\tag{4} N_1 i_1 = N_2 i_2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{i_1}{i_2} = \dfrac{N_2}{N_1}= \dfrac{1}{a}$$

전력

$$P_{i n}= V_{1}I_{1}\cos\theta_{1} \quad ; \quad P_{out}= V_{2}I_{2}\cos\theta_{2}$$

$$\theta_{1}=\theta_{2}=\theta$$

$$P_{i n}= P_{out} \quad ; \quad Q_{i n}= Q_{out} \quad ; \quad S_{i n}= S_{out}$$

입력 전력은 $S_1 =V_1 i_1 = a V_2 \dfrac{i_2}{a} = V_2 i_2 = S_2$ 즉, 입력 전력과 출력 전력 같다는 것은 손실이 없다. 이러한 경우, 이상변압기라 한다.

이상변압기

이상변압기가 포함된 회로 해석

이상변압기는 전기 에너지를 전압이나 전류의 변환을 통해 변압하는 역할을 합니다. 이를 회로 해석 시에는 이상변압기가 포함된 회로를 해석하기 어렵기 때문에, 일차측 또는 이차측 중 한쪽을 등가회로로 대치하여 해결할 수 있습니다. 이를 통해 변압기가 있는 회로를 변압기가 없는 회로로 바꾸어 해석할 수 있게 됩니다. 이렇게 변압기가 없는 회로로 바꾸어 해석하면, 회로 분석 및 설계에 더욱 정확하고 효과적으로 접근할 수 있습니다.

변압기가 포함된 회로

101V 발전기가 선로 임피던스 10[$\Omega$]을 통해 10[$\Omega$]인 부하에 전력을 공급하고 있다.

이 때의 전력 손실을 구하면 다음과 같다.

$$I = \dfrac{V}{Z} = \dfrac{101}{10 + 10} = 5.05[A]$$

이 시스템의 부하 전력은 $P_l = R I^2 = 10 \times 5.05^2 = 255[W]$ , 전력선 손실은 $P_{line}=R \times I^2 = 10 \times 5.05^2 = 255[W]$이다.

위의 시스템에 권선비가 10인 승압 변압기와 강압 변압기를 설치하였다.

$$V_B = \dfrac{1}{a} \times V_A = \dfrac{1}{1/10} \times 101 = 1010[V]$$

임피던스 변환을 통해 부하를 C지점으로 변환을 하면

$$Z_{L_B} = a^2 Z_L = 10^2 \times 10 = 1000[\Omega]$$

$$I = \dfrac{V}{Z} = \dfrac{1010}{10 + 1000} = 1[A]$$

이 시스템의 부하 전력은 $P_l = R I^2 = 1000 \times 1^2 = 1000[W]$ , 전력선 손실은 $P_{line}=10 \times I^2 = 10 \times 1^2 = 10[W]$이다.

위의 간단한 예에서 선로 손실은 255[W]에서 10[W]로 손실이 25배 감소하였다. 부하에 공급하는 전력도 255[W]에서 1000[W]로 공급 전력을 늘릴 수 있었다.

• 손실이 없는 변압기를 이상변압기라 한다.

조건

• 철심은 히스테리시스 손실과 와전류 손실이 없어야 한다. 즉, 철손이 없어야 한다.
• 철심의 누설자속은 영이다. 모든 자속은 철심으로만 흐른다.
• 철심의 투자율은 무한대의 값을 가진다.
• 변압기 권선 저항은 영이다.